1 + 2 + 3+...+n = \(\frac { n(n+1) }{ 2 } \) என்பதால்  \(\frac { n(n+1) }{ 2 } \) = 666
n² + n - 1332 = 0 ⇒ (n + 37)(n - 36) = 0
எனவே n = -37 அல்லது n = 36
ஆனால் n ≠ -37 ( ஏனெனில் n ஓர் இயல் எண்). ஆகவே n = 36.

3 + k, 18 - k, 5k + 1 என்பன கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் உள்ளன
\(t_1=3 + k, t_2=18-k, t_3 = 5 k+1\)
∴ அடுத்தடுத்த இரு உறுப்புகளின் வித்தியாசம் சமமாகும்.
\(i.e., t_2-t_1 =t_3-t_2  \)
\((18-k)-(3+k) =(5 k+1)-(18-k)  \)
\(18-k-3-k =5 k+1-18+k  \)
\(15-2 k =6 k-17  \)
\(15+17 =6 k+2 k  \)
\(32 =8 k  \) \(\Rightarrow\) \(k =\frac{32}{8}=4\)

-11, -15, -19,.... என்பது தரப்பட்ட கூட்டுத்தொடர் வரிசை
இங்கு முதல் உறுப்பு a = -11
பொது வித்தியாசம் \(\mathrm{d}=\mathrm{t}_2-\mathrm{t}_1=-15-(-11)\)
= -15 + 11 = -4
∴ n-ஆவது உறுப்பு \(\mathrm{t}_{\mathrm{n}} =\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d} \)
∴ 19- ஆவது உறுப்பு \(\left(\mathrm{t}_{19}\right) =-11+(19-1)(-4) \)
= -11 +18(-4) 
= -11 + (-72) = -83
∴ -11,-15,-19,......-இன் 19 ஆவது உறுப்பு - 83.

800 என்ற எண்ணைக் காரணிப்படுத்தும்போது, நாம் பெறுவது
800 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 =2⁵ x 5²
ஆகவே, a^b x b^a = 2⁵ x 5²
இதிலிருந்து நாம் பெறுவது. a = 2, b = 5 (அ) a = 5, b = 2

x என்பது ஓர் ஒற்றை முழுக்கள் என்க. எந்தவொரு ஒற்றை முழுக்களுக்கும் ஏதேனும் ஓர் இரட்டை முழுக்களை விட ஒன்று அதிகமாக இருக்கும் என்பதால், x = 2k + 1, இங்கு k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழுக்கள்.
x² = (2k + 1)²
= 4k² + 4k + 1
= 4k(k + 1) + 1
= 4q + 1. இங்கு, q = k(k + 1) என்பது ஒரு முழுக்கள்.

\(0 . \overline{123}=0.123123123 \ldots. \)
\(=0.123+0.000123+0.000000123+\ldots. \)
\(\frac{t_2}{t_1}=\frac{0.000123}{0.123}=\frac{0.123}{123}=0.001=\mathrm{r}\)
∴ இது ஒரு பெருக்குத் தொடர் வரிசை ஆகும்.
\(\mathrm{a}=0.123 \) மற்றும் r = 0.001
முடிவிலி வரை கூடுதல் \(=\frac{a}{1-r}\)
\(=\frac{0.123}{1-0.001}=\frac{0.123}{1-\frac{1}{1000}} \)
\(=\frac{0.123}{\frac{999}{1000}}=\frac{123}{999} \)
\(\therefore 0 . \overline{123}=\frac{41}{333}\)

\(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
வண்ணக் காகிதங்களால் அலங்கரிக்கும் பரப்பு \(=10^2+11^2+12^2+\ldots+24^2\)
=(1² + 2² + 3² + .... + 24²) - (1²+2² + .... + 9²)
\(=\frac{24 \times(24+1)[2(24)+1]}{6}-\frac{9 \times(9+1)[2(9)+1]}{6} \)
\(=(4 \times 25 \times 49)-\frac{9 \times 10 \times 19}{6} \)
= 4900 - 285 = 4615
4615 செ.மீ² பரப்பளவு அடைத்து அலங்கரிக்க இயலும்.

5 + 55 + 555+.... என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையும் அல்ல, பெருக்குத் தொடர்வரிசையும் அல்ல. எனவே, இந்தத் தொடரை இரு தொடர்களாகப் பிரித்துக் கூடுதல் காண்போம்.
5 + 55 + 555+... n உறுப்புகள் வரை = 5[1 + 11 + 111+.... n உறுப்புகள் வரை]
= \(\frac { 5 }{ 9 } \)[9 + 99 + 999+...n உறுப்புகள் வரை]
=\(\frac { 5 }{ 9 } \)[(10-1) + (100-1) + (1000-1) + ... n உறுப்புகள் வரை]
= \(\frac { 5 }{ 9 } \)[(10 + 100 + 1000+... n உறுப்புகள் வரை) - n]
= \(\frac { 5 }{ 9 } \left[ \frac { 10(10^{ n }-1) }{ (10-1) } -n \right] =\frac { 50(10^{ n }-1) }{ 81 } -\frac { 5n }{ 9 } \)

கூட்டுத் தொடர் வரிசையின் மூன்று அடுத்தடுத்த உறுப்புகள் \(\mathrm{a}-\mathrm{d}, \mathrm{a}, \mathrm{a}+\mathrm{d}\) என்க.
அவற்றின் கூடுதல் = 27
\((\mathrm{a}-\mathrm{d})+\mathrm{a}+(\mathrm{a}+\mathrm{d})=27\)
a - d + a + a + d = 27 \(\Rightarrow\) 3a = 27 
\(a =\frac{27}{3}=9\)
பெருக்கற்பலன் = 288
\((a-d) a(a+d)=288 \)
\(a\left(a^2-d^2\right)=288 \)
\(9\left(9^2-d^2\right)=288 \)
\(81-\mathrm{d}^2=\frac{288}{9} \)=32
\( \mathrm{d}^2 =81-32=49 \)
d = ±7
a = 9 மற்றும் d = \( \pm\) 7
(i) a = 9, d = 7 எனில்,
மூன்று உறுப்புகள் 9 -7, 9, 9 + 7 i.e) 2, 9, 16
(ii) a = 9, d = -7 எனில்,
மூன்று உறுப்புகள் 9 - (-7) 9, 9 - 7 i.e) 16, 9, 2

S₁, S₂ மற்றும் S₃ என்பன முறையே ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் n, 2n மற்றும் 3n உறுப்புகளின் கூட்டல் எனில்,
\(S_1=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d], \ S_2=\frac{2 n}{2}[2 a+(2 n-1) d], S_3=\frac{3 n}{2}[2 a+(3 n-1) d]\)
தற்போது, S₂ - S₁ =\(\frac { 2n }{ 2 } \) [2a + (2n - 1)d] -\(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n - 1)d
=\(\frac { n }{ 2 } \)[4a + 2(2n - 1)d - [2a + (n - 1)d]]
S₂ - S₁ = \(\frac { n }{ 2 } \) x [2a + (3n - 1)d]
3(S₂ - S₁)  = \(\frac { 3n }{ 2 } \)[2a + (3n - 1)d]
3(S₂ - S₁) = S₃

(i) \(a_n=\frac{5 n}{n+2} ; a_6\) மற்றும் a₁₃
இங்கு \( \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{5 n}{n+2}\)
n = 6 எனில்,
\(a_6=\frac{5 \times 6}{6+2}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
n = 13 எனில், 
\(a_{13}=\frac{5 \times 13}{13+2}=\frac{65}{15}=\frac{13}{3}\)
\(\therefore \mathrm{a}_6=\frac{15}{4}\) மற்றும் \(\mathrm{a}_{13}=\frac{13}{3}\)
(ii) \(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=-\left(\mathrm{n}^2-4\right) ; \mathrm{a}_4\) மற்றும் a₁₁
இங்கு \(a_n=-\left(n^2-4\right)\)
n = 4 எனில்
\(a_4=-\left(4^2-4\right)=-(16-4)=-12\)
n = 11 எனில்
\(\mathrm{a}_{11}=-\left(11^2-4\right)=-(121-4)=-117 \)
\(\therefore a_4=-12 ; \quad a_{11}=-117\)

கொடுக்கப்பட்ட மூன்று எண்களின் மீ.பொ.வ காண, நாம் முதலில் முதல் இரு எண்களின் மீ.பொ.வ காண்போம்.
396 மற்றும் 504 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ காண,
யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 504 = 396 x 1 + 108
இங்கு மீதி 108 ≠ 0
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 396 = 108 x 3 + 72
இங்கு மீதி 72 ≠ 0
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 108 = 72 x 1 + 36
இங்கு மீதி 36 ≠ 0
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 72 = 36 x 2 + 0
இங்கு மீதி = 0. எனவே 396 மற்றும் 504–யின் மீ.பொ.வ 36 ஆகும். 636 மற்றும் 36 –யின் மீ.பொ.வ காண, யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 636 = 36 x 17 + 24
இங்கு மீதி 24 ≠ 0
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 36 = 24 x 1 + 12
இங்கு மீதி 12 ≠ 0
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 24 = 12 x 2 + 0
இங்கு மீதி = 0. எனவே, 636 மற்றும் 36 –யின் மீ.பொ.வ = 12
எனவே 396, 504 மற்றும் 636 –யின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி 12 ஆகும்.

65 மற்றும் 117  இன் மீ.பொ.வ = 13 
\(65 \mathrm{~m}-117=13  \)
\(65 \mathrm{~m}=13+117=130  \)
\(\mathrm{~m}=\frac{130}{65}=2\)

\(\left(1^3+2^3+3^3+\ldots+15^3\right)-(1+2+3+\ldots+15)   \)
\(=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]  \)
\(=\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]^2-\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]=(120)^2-120\)
= 14400 - 120 = 14280

\(\mathrm{t}_1, \mathrm{t}_2, \mathrm{t}_3, \ldots\) என்பது கூட்டுத் தொடர்வரிசை எனில் \(t_6, t_{12}, t_{18}, \ldots . . .\) என்பதும் பொது வேறுபாடு 6d உடைய ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை ஆகும்.

x அதிகரிக்கும் போது y குறைகிறது என கொடுக்கப்பட்ட அட்டவணையிலிருந்து தெளிவாக காண முடிகிறது. ஆகவே இது எதிர் மாறுபடும் ஆகும்.
இது \(y=\frac{k}{x}\) என்ற வடிவில் இருக்கும் 
விகிதசம மாறிலி \(k=x y=2 \times 45=3 \times 30=6 \times 15=9 \times 10=90\)
(2, 45), (3, 30), (6, 15), (9, 10) ஆகியவற்றை வரைபடத்தில் குறித்து புள்ளிகளை நேர்கோடற்ற இழைவான வளைவரையாக வரையவும் செவ்வக அதிபரவளையம் 
(i) வரைபடத்திலிருந்து 5 குழாய்களை பயன்படுத்தினால் தொட்டி நிரம்ப எடுத்துக் கொள்ளப்பட்ட நேரம் 18 நிமிடங்கள் ஆகும்
(ii) வரைபடத்திலிருந்து 9 நிமிடங்களில்  தொட்டி நிரம்பினால் பயன்படுத்தப்பட்ட குழாய்களின் எண்ணிக்கை 10. 

வட்டத்தின் ஆரம் = 4 செ.மீ
தொடுகோடுகளின் நீளம் PA = PB = 10.2 செ.மீ
வரைமுறை:
படி 1: O வை மையமாகக்கொண்டு, 4 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைந்தேன்.
படி 2: 11 செ.மீ நீளமுள்ள OP என்ற கோடு வரைந்தேன்.
படி 3: OP க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைந்தேன். அது OP யை  M - ல் சந்திக்கும்.
படி 4: M ஐ மையமாகவும் MO ஆரமாகவும் கொண்டு வரையப்படும் வட்டமானது முந்தைய வட்டத்தை A மற்றும் B யில் சந்திக்கும்.
படி 5: AP மற்றும் BP யை இணைத்தேன். AP மற்றும் BP தேவையான தொடுகோடுகள் ஆகும். தொடுகோடுகளின் நீளங்கள்  PA = PB = 10.2 செ.மீ
சரிபார்த்தல்:
செங்கோண முக்கோணம் OPA இல்
\(\mathrm{PA}^2 =\mathrm{OP}^2-\mathrm{OA}^2 \)
\(= 11^2-4^2 \)
= 121 - 16 = 105
\(\mathrm{PA}^2 =105 \)
PA = 10.2 செ.மீ (தோராயமாக)